Ekstremum Problemleri:

Bilinmesi gereken iki kural:

1. Birinci türevimizin kökü ikinci türevi negatif yapıyorsa, fonksiyon burada yerel max. değerini alır.

2. Birinci türevimizin kökü ikinci türevi pozitif yapıyorsa, fonksiyonumuz burada yerel min. değerini alır! Şöyle ki;

f(x)= -x²+4x+8 fonksiyonumuz olsun.

Şimdi fonkiyonumuzun max mı min değer mi aldığını araştıralım:

f'(x)= -2x+4 >> kökümüz= 2f''(x)=-2 ; görüldüğü gibi 2. türev değerimiz negatiftir.

Yani yerel max. değerimiz vardır. f(2)= -(2)²+4.2+8=12 olur.

Türev Bilgim Yok Diyen Arkadaşlar:Kendi bildiğim bir yöntemi sizinle paylaşayım:

>> f(x)= -x²+4x+8  fonksiyonumuz(ikinci dereceden olduğundan) analitik düzlemde bir parabol belirtir.

>> Parabolümüzün tepe noktasının apsisini bulup fonksiyonda yerine yazalım:

apsis= -b/2a = -4/-2=2 f(2)=12 ...

"Bu kısa ekstremum noktalar kavramını gördükten sonra kuru fasuluyenin faydalarına geldik. Türev bilgisi olmayan arkadaşlar bundan sonrasını incelemesine gerek yoktur.Anlatacağım problemler türev bilinmeden çözülebilir mi?

-Evet. Çözülebilir. Ama korkunç bir işlem kalabalığı ve zaman kaybı olur.Bizde nerde çokluk orda b*kluk felsefesine uyarak işlerimizi türev ile halledeceğiz..."                   

Bir Küreye Maksimum Hacimli Cola Turka Kutusunu Sığdırma:

Soru: Yarı çapı 4 cm olan küre içine çizilebilecek silindirin max. hacmi?

Cevap:

>> r² + (h/2)²= 16 

 >>> pisagora göre r'yi h cinsinden yacazağız:

r²=16-(h/2)²

Sinlindirin Hacmi=V =п.r².h tır.f(V)= п.(16-(h/2)²)f '(V)=п(16-3h²/4)=0 Burdan h=8√3/3 cm olur...f(8√3/3)=п.256.√3/9 olur...>>>

1. Önce r yi h cinsinden yadık. Silindirin hacmini belirleyen formülü fonksuyonumuz yerine yazdık.

2. Fonkiyonun birinci türevinin kökünü alıp fonksiyona yazdık.

3. max hacmimizi bulduk...

Şimdi bi soru daha yazacam ama bu soru: copyright© 2008 by BraveSatar :D

Soru:

Şekilde görüldüğü gibi çizilen kenarları 8 cm ve 6 cm olan üçgenin içine çizilebilecek max alanlı dikdörtgenin alanı=?

>>> Benzerlik yapalım. Ve y yi x cinsinden bulalım:8-x/8 = y/6 ise y=24-3x/4 olur...

Şimdi fonksiyonumuzun:

f(x)= x.y burda y yi yerine yazalım max değeri bulalım.

f(x)=x.(24-3x/4)f' (x)= 96-24x/16=0 için x=4 benzerlik oranında x i yerine yazalım, y yi 3 buluruz. 

x.y= 12 max değer...Çok güzel sorular vardı elimde başka ama başka zaman gösteririz artık. Elimden geldiğince temel düzeyde anlaşılır bir biçimde anlatmaya çalıştım. Soru görüş öneri ve hatam olursa bildirebilir siniz saygılar.

Bu arada şekiller iğrenç oldu. PhotoShop'um yoktu mecburen paint ile yaptım. Pekte iyi olmadı : ) Ama anlaşılır...